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Journal of Tropical Oceanography >

2026 , Vol. 45 >Issue 2: 30 - 41

DOI: https://doi.org/10.11978/2025060

Experimental study on the propagation and evolution characteristics of cnoidal waves over typical coral reefs

  • ZHANG Ze , 1 ,
  • QU Ke , 1, 2, 3 ,
  • LI Wei 1 ,
  • WANG Chao 1
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  • 1 School of Hydraulic and Ocean Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China
  • 2 Key Laboratory of Dongting Lake Aquatic Eco-Environmental Control and Restoration of Hunan Province, Changsha 410114, China
  • 3 Key Laboratory of Water-Sediment Sciences and Water Disaster Prevention of Hunan Province, Changsha 410114, China
QU Ke. email:

Editor: YIN Bo

Received date: 2025-05-07

  Revised date: 2025-06-17

  Online published: 2025-07-04

Supported by

National Key Research and Development Program of China(2022YFC3103601)

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Abstract

Cnoidal waves can effectively characterize wave motion in shallow water regions, holding significant practical value for the precise description of nearshore hydrodynamic processes. To investigate the propagation and evolution patterns of cnoidal waves over typical reef-lagoon systems, this study conducted physical model experiments in a wave flume, with particular focus on the effects of incident wave height, reef flat submergence, and wave period on wave nonlinear characteristics, energy dissipation, and hydrodynamic parameters. The results demonstrate that reef topography substantially enhances wave nonlinearity, with conspicuous waveform steepening in the fore-reef slope zone and sawtooth-shaped wave profiles accompanied by phase lags over the reef flat. Increased incident wave height induces stronger nonlinear effects, promoting higher harmonic growth and significantly enhancing wave setup and run-up, while reducing reflection coefficients due to enhanced transmission. However, greater reef flat submergence weakens nonlinear wave effects and causes a monotonic decrease in reflection coefficients. Under deeper water conditions, vertical momentum flux intensifies, and run-up exhibits nonlinear growth. The influence of wave period manifests complex patterns: the maximum wave energy concentration and the most pronounced higher harmonics occur at T = 2.25s. Short-period waves (T < 2.25s) experience intensified shoaling deformation that aggravates waveform distortion, whereas long-period waves (T > 2.25s) exhibit characteristic attenuation through energy dissipation. This research provides critical experimental evidence for coral reef ecosystem conservation and coastal engineering design.

Key words： physical model experiment; cnoidal wave; wave setup; hydrodynamic characteristics; nonlinear characteristics

Cite this article

ZHANG Ze , QU Ke , LI Wei , WANG Chao . Experimental study on the propagation and evolution characteristics of cnoidal waves over typical coral reefs[J]. Journal of Tropical Oceanography, 2026 , 45(2) : 30 -41 . DOI: 10.11978/2025060

珊瑚礁由造礁石珊瑚遗骸经过长期作用堆积而成, 广泛分布于亚热带和热带海域(刘维杰 等, 2023)。作为天然防波堤, 珊瑚礁能有效耗散入射波能, 其浅礁嵴区域对波能产生高达97%的耗散效率(Monismith et al, 2015)。自2013年以来, 随着中国南海珊瑚岛礁开发步伐的加快, 与波浪作用相关的珊瑚礁海岸水动力学研究迅速成为一个前沿和热点问题(姚宇, 2019)。波浪传播过程中的变形对海岸工程设计和泥沙输移计算具有重要意义(Xiao et al, 2016), 特别是波浪变形和破碎的强非线性作用会导致礁坪上产生显著的波浪增水或低频波振荡, 对后方建筑物构成安全隐患(任冰 等, 2018)。在极端海洋灾害条件下, 波浪动力作用更可能危及岛礁稳定性和生态系统平衡。因此研究波浪在岛礁附近的传播演变特性, 对于海洋工程、岛屿防护以及海洋环境保护具有重要的理论和实践意义。
在浅水波浪运动研究中, 椭圆余弦波(cnoidal wave)理论因其对非线性水质点运动的精确描述能力而显著优于斯托克斯波理论(顾家龙 等, 1989)。自肖波等(1991)成功实现波浪水槽中椭圆余弦波的物理模拟以来, 该理论在浅水波浪研究中的应用获得实质性突破。值得注意的是, 椭圆余弦波的传播特性不仅与波速、波高等物理量密切相关, 还受到岛礁地形、海床构造以及海洋环境因素(如水深、潮汐等)的影响(Gourlay, 1996)。目前, 国内外研究者主要通过理论推导、数值模拟和试验研究三种方式探讨波浪传播与岛礁相互作用的问题。Lowe等(2008)结合了渗透介质理论和冠层流动理论, 预测珊瑚礁中的流动结构。姚宇等(2017)通过水槽试验分析了珊瑚礁破碎带附近波浪演化、波生流及礁冠对波浪动力学特性的影响。王超等(2024)基于物理模型试验, 系统研究了类海啸波在非平整岛礁上传播与演变的规律。为理解珊瑚礁岛屿的波浪动力学提供了理论基础和试验数据。Bishnupriya等(2019)研究了飓风在巴哈马群岛这种复杂的海岸地形条件下对沿海岛屿水动力影响的重要性。Qu等(2024)基于非静压单向流模型(non-hydrostatic wave model, NHWAVE), 通过求解σ坐标系下的纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程, 模拟了亚重力波在透水岸礁上的传播演变, 并分析了岸礁透水层的厚度、孔隙率及介质粒径对波浪传播的影响。这些研究为理解珊瑚礁岛屿的波浪动力学提供了理论基础和试验数据。任冰等(2018)通过物理模型试验研究了规则波在陡峭珊瑚礁地形上的传播、变形和破碎变化特性, 重点分析了在深水波和有限水深波作用下, 礁坪上波浪增水高度与礁坪上淹没水深和入射波参数等的变化规律。Li等(2024)分析了规则波在陡坡地形上的非线性特征参数(偏度、不对称性、峰度和厄塞尔数)的变化, 结果表明, 水深对偏度和厄塞尔数(Ursell number)的影响显著, 而对不对称性的影响最小。水深越小, 破碎段参数振幅变化越明显。研究结果为预测非线性趋势和近岸防护工程的设计提供了理论依据(李玮, 2024)。然而, 现有研究多集中于简单波形的传播特性, 无法适应于复杂的海岸环境。
此外, 在有限振幅波理论框架下, 传统的微幅波理论因无法表征显著的非线性效应而存在局限。在这种情况下, 虽然斯托克斯高阶波理论适用于深水条件(邱大洪, 1981), 但当波浪传入浅水, 其误差将随非线性增强而显著增大(Liu et al, 2023), 难以给出令人满意的结果。而椭圆余弦波理论因其对浅水非线性效应的精确描述, 被公认为目前计算浅水波浪运动较适宜的一种非线性波理论(孙书敏, 1989)。本文针对岛礁地形特征, 通过波浪水槽试验系统探究椭圆余弦波的传播演变规律。本研究采用椭圆余弦波这一非线性波浪, 重点分析岛礁对波浪传播的影响机制。

1 试验布置

物理试验在长沙理工大学水利实验中心的多功能波浪水槽中进行。波浪水槽长40m, 宽0.5m, 深0.8m, 水槽首端配有推板式造波机, 造波机采用计算机控制并且装配数据采集系统。试验中所用珊瑚岛礁模型是基于夏威夷摩洛凯岛地形统计数据构建而成(Storlazzi et al, 2003), 试验比尺按照弗劳德(Froude)相似准则设计为1∶50的几何比尺。礁前斜坡坡脚距离造波器23m, 长度为2.05m, 坡度为1∶7.36。连接斜坡末端处是长度为4.5m, 高度为0.416m的水平礁坪。礁后岸滩连接礁坪末端, 长度为2m, 坡度为1∶3.5。具体试验布置如图1所示。根据Xie 等(2019)研究结果, 由于波浪在试验过程中主要沿纵向传播, 且试验目标侧重于岛礁前后波浪的传播演变特性, 边壁反射所引起的局部扰动对整体波浪传播趋势影响有限。此外, 试验测点布置主要在水槽中央区域, 远离侧壁, 进一步减小了边壁干扰对测量数据的影响。为简化分析并聚焦于主要运动过程, 本文不对边壁效应进行专门修正或量化分析, 其影响在试验误差范围内可接受。为减小底面粗糙度对于试验结果的干扰, 珊瑚礁模型的礁面采用较为光滑的PVC板进行拼接, 并在PVC板与水槽接缝处使用玻璃胶进行密封处理。
图1 物理试验布置图

WG1~WG14表示从左至右依次布置的14根浪高仪; h为水深; hr为礁坪水深

Fig. 1 Physical experiment setup layout. WG1 to WG14 represent the 14 wave gauges arranged from left to right in sequence; h is the water depth; hr is the reef flat water depth

本研究主要采用椭圆余弦波作为研究对象, 该波形具有复杂的非线性特征, 能够更准确地模拟实际复杂地形条件下波浪的传播与变形过程。相较于传统波形, 椭圆余弦波在描述近岸波浪传播与变形机制方面展现出独特的优势。然而, 椭圆余弦波与斯托克斯波理论在适用范围上并无明确界限, 且大多数近岸水域波浪的实际特性往往处于二者的过渡状态。在这种情况下, 采用不同理论对波浪传播与演变过程进行分析, 可能会导致对某些现象得出截然不同的结论。因此, 通过本试验进一步探索椭圆余弦波的传播特性, 并结合其他波浪理论的比较研究, 将为近岸水域的波浪动力学分析提供更全面的理论支撑和试验依据。
本研究引用Ursell参数(公式1)对椭圆余弦波的适用范围进行界定。计算结果表明, 所有选定工况均满足Ursell > 10, 符合椭圆余弦波理论的适用条件。
$\text{Uresll}=\frac{{L}^{2}H}{{h}^{3}}$
式中: H、h、L分别表示波高、水深、波长(单位: m)。顾家龙等(1989)在探讨椭圆余弦波与斯托克斯波应用时指出: 当Ursell < 10时适用于斯托克斯波理论, Ursell = 10可作为使用斯托克斯波理论的界限, 当Ursell > 26时适用于椭圆余弦波, 当10 < Ursell < 26时, 两者都适用。而对于椭圆余弦波的波长计算, 将通过顾家龙等(1989)给出的椭圆余弦波波长的计算方式进行计算。经过对试验工况的详细计算、筛选, 本文所选用的工况均符合椭圆余弦波理论的适用条件。具体工况设置见表1。
表1 试验工况表

Tab. 1 Test conditions

工况编号 入射波高/m 礁坪水深/m 波浪周期/s 工况编号 入射波高/m 礁坪水深/m 波浪周期/s
A1 0.04 0.015 2.00 B3 0.06 0.030 2.00
A2 0.06 0.015 2.00 B4 0.06 0.045 2.00
A3 0.08 0.015 2.00 C1 0.06 0.015 2.00
A4 0.10 0.015 2.00 C2 0.06 0.015 2.25
B1 0.06 0 2.00 C3 0.06 0.015 2.50
B2 0.06 0.015 2.00

2 结果及分析

主要从4个方面进行分析, 首先是系统分析岛礁地形对椭圆余弦波波浪水动力特性的影响, 其次探讨了不同波浪要素(入射波高、礁坪水深和波浪周期)下椭圆余弦波在岛礁地形下的传播演变规律。

2.1 水动力特性分析

本节基于特征测点自由水面时间序列的对比分析, 系统揭示了岛礁地形对椭圆余弦波传播和演变的影响。试验采用沿波浪水槽工作段布置的14组浪高仪同步采集波面时程数据。图2展示了典型工况下关键测点的波面演化特征。远海端WG3呈现规则的周期性波动, 其波面时程由入射波与礁面反射波的线性叠加而成, 符合深水区波浪传播理论, 表明该区域未受地形显著干扰。WG7位于礁前斜坡中间位置, 当波浪在礁前斜坡上爬坡时水深急剧减小。波浪产生剧烈的浅水变形, 使波高变陡且在同一个周期内波幅呈不对称分布, 并伴随相位前移。进一步通过观察WG8测点发现, 此时波形已呈现显著非线性特征, 波峰尖陡而波谷平坦, 垂直方向上的不对称性更加显著, 礁缘区测点WG9位于破碎带内, 与WG8相似, 波形呈现涌波形态, 波峰和波谷严重不对称; 随着波浪传播至礁坪区域(WG11~WG13), 该位置波浪已恢复破碎, 能量开始急剧衰减, 波面变得极不规则, 表现为锯齿状, 并伴随相位滞后。
图2 特征测点处波浪自由水面时间序列对比图

a. 第3、7、8组浪高仪波面时程曲线; b. 第9、11、13组浪高仪波面时程曲线。hr为礁坪水深; H0为入射波高; T为波浪周期

Fig. 2 Time series comparison of free water surface at characteristic measurement points. (a) Time series of wave surface of wave gauges in groups 3, 7 and 8; (b) Time series of wave surface of wave gauges in groups 9, 11 and 13. hr represents the water depth of the reef flat; H0 represents the incident wave height; T represents the wave period

为揭示波浪内部能量沿程变化, 共计算了 6个特征点位(WG3、WG7、WG8、WG9、WG11、WG13)的波浪能量谱。由图3可知, 在远海端(WG3)波浪内部能量主要集中在谱峰频率f = 0.5Hz附近, 这与存在于礁坪斜坡中部的WG7测点的波能分布几乎一致, 但WG7的谱峰峰值相对较高, 这是因为波浪传播至礁前斜坡时, 受到了浅水变形的影响, 进而导致主频的谱峰峰值略高。此外, 有部分波能密度分布在f = 1.0Hz处, 这是由于波浪在反射波与入射波的叠加过程中局部水动力条件的变化, 增加了局部波能。当波浪发生破碎(WG8), 低频主峰波能显著提升, 这表明波浪越过斜坡时, 部分能量出现了聚集现象。而当波浪传播至礁缘处(WG9), 低频主峰波能衰减显著, 部分高频波能向低频转移, 此时波浪已耗散大量能量。至礁坪中心(WG11)处, 主频及次频波能再次衰减, 至礁坪末端(WG13)逐渐衰减殆尽。
图3 特征测点处波浪能量谱

a.第3、7组浪高仪波浪能量谱; b. 第8、9组浪高仪波浪能量谱; c. 第11、13组浪高仪波浪能量谱

Fig. 3 Wave energy spectrum at characteristic measurement points. (a) Wave energy spectra of the 3rd and 7th wave gauges; (b) Wave energy spectra of the 8th and 9th wave gauges; (c) Wave energy spectra of the 11th and 13th wave gauges

2.2 入射波高的影响

本节基于表1中A1、A2、A3、A4工况, 系统研究了入射波高H0对椭圆余弦波在典型岛礁地形上的传播特性的影响规律。图4a给出了不同入射波高条件下局部波高的空间分布。结果表明: 随着入射波高的增加, 局部波高的最大增加幅度逐渐降低, 最大降低幅度逐渐增加。对于破碎位置(WG8), 当入射波高从0.04m增加到0.10m时, 相比于远海端入射波高, 局部波高增加幅度从25.0%减小到10.5%, 这是因为随着入射波高增大, 浅水变形引起的波峰尖化效应显著增强, 导致波浪发生更强烈的能量耗散。此外, 相比于礁坪末端, 局部波高的最大降低幅度从18.6%增加到31.6%, 进一步验证了分析结果。图4b展示了不同入射波高条件下礁坪上平均水位的沿程变化。基于任冰等(2018)研究, 试验中平均水位值通过将一定时间段的自由液面高度求时间平均得到。结果表明, 对于给定的礁坪水深hr和周期T, 平均水位随入射波高H0的增加而增加。这是因为入射波高的增加会引起更加强烈的非线性效应, 如破碎, 漩涡等都会变大, 这些都会增加波浪的紊动能量, 使得礁坪上平均水位随入射波高增加而增大。
图4 不同入射波高条件下局部波高和平均水位的沿程变化

a. 局部波高; b. 平均水位; c. 岛礁地形。H0为入射波高; Hi为当地平均波高

Fig. 4 Along-course variations of local wave height and mean water level under different incident wave height conditions. (a) Local wave height; (b) mean water level; (c) reef topography. Hi represents the average local wave height

波浪在与岛礁地形相互作用时, 受到水深变浅的影响, 在礁坪上传播时, 波浪会具有明显的非线性特征。描述波浪的非线性特征通常采用的参数是偏度S和不对称度A。S代表了波浪相对水平轴的不对称程度, S正向变大时表示波峰变尖, 波谷变得平坦, S可以通过公式(2)进行计算; A代表了波浪关于垂直轴的不对称程度, A为正值时表示波浪整体前倾, 负值时整体后倾, A可以通过公式(3)进行计算。图5a和5b分别展示了椭圆余弦波中的不对称度和偏度随不同入射波高的沿程变化。结果表明, 远海端由于水深较深, 波浪不对称度参数基本为0, S的值趋近于0, 此时波浪表现为基本对称的形态。随着波浪传播至礁前斜坡区域, 由于浅化作用波浪的非线性特征逐渐增强, A值逐渐减小, 波浪逐渐向波峰变陡、波峰前倾形态发展; 同时, S值逐渐增加, 波浪形态逐渐向波峰尖锐、波谷平坦的趋势发展。随着入射波高的增加, 破碎带区域内A的最小值逐渐减小, 最小值降幅约90.6%, S值逐渐增大, 增幅约161.3%。
$S=\frac{〈{\left(\eta -\overline{\eta }\right)}^{3}〉}{{〈{\left(\eta -\overline{\eta }\right)}^{2}〉}^{3/2}}$
$A=\frac{〈{H}^{3}\left(\eta -\overline{\eta }\right)〉}{{〈{\left(\eta -\overline{\eta }\right)}^{2}〉}^{3/2}}$
式中: $\eta $ 为波面高程(单位: m); $\overline{\eta }$为平均波面高程(单位: m)。< > 为对波浪周期取平均值; H为希尔伯特变换(Hilbert transform)的缩写。
图5 不同入射波高条件下波浪偏度和不对称度的沿程变化

a. 偏度; b. 不对称度; c. 岛礁地形。H0为入射波高

Fig. 5 Along-course variations of wave asymmetry and wave skewness under different incident wave height conditions. (a) Skewness; (b) asymmetry; (c) reef topography. H0 represents the amplitude of the incident wave

图6展示了不同入射波高条件下波浪能量的沿程变化。在礁前斜坡处可以看出, 随着入射波高的增加, 主频能量急剧增加。产生这种现象的原因是入射波高的增加导致波浪浅化变形程度的增强, 这种强烈的浅化效应和非线性相互作用, 又激发了高次谐波的增长。而当波浪传播至礁坪处, 大波高波浪在礁坪上的能量衰减显著增强, 这种增强主要来源于更强烈的波浪破碎, 使其耗散更多的能量。高次谐波又因底部摩擦和波浪破碎而快速衰减。
图6 不同入射波高(H0)条件下波谱能量的沿程变化

a. H0 = 0.04m; b. H0 = 0.10m

Fig. 6 Along-course variation of wave spectral energy under different incident wave height (H0) conditions

图7揭示了椭圆余弦波作用下不同入射波高条件对波浪增水(ηr)和前2%最大爬高(R2%)的影响, 结果表明, 波浪增水随着入射波高的增大而增大。这是因为随着入射波高的增大, 波浪的破碎程度也增大, 波浪破碎带的辐射应力梯度随之增加。同时随着入射波高的变化, 波浪爬高R2%与入射波高呈显著正相关, 当H0 = 0.10m时, R2%值较H0 = 0.04m工况增长约145.0%。这一趋势可以归因于波高的增大提升了波浪携带的能量, 使得波浪破碎时释放的能量增加。从而形成更大的压力梯度并驱动更强的波生流。
图7 波浪增水(ηr)和前2%最大爬高(R2%)随入射波高的变化

hr为礁坪水深; T为波浪周期

Fig. 7 Variations of wave setup (ηr) and maximum run-up of the top 2% (R2%) with incident wave height. hr represents the water depth of the reef flat; T represents the wave period

图8展示了不同入射波高对反射系数Cr的影响, 本研究中反射系数的计算采用Goda 等(1976)提出的两点法, 该方法通过两个相邻测点处的波面高程时间序列数据, 构建频域中的传播关系, 并分离出入射波与反射波成分, 最终计算反射能量与入射能量之比来确定反射系数。数据显示: 当H0从0.04m增至0.10m时, 反射系数呈现单调递减趋势, 其降幅达32.8%。这一现象可通过波浪浅化过程中的非线性演变机理解释: 随着波高的增大, 波浪在礁缘处发生更强的非线性变形, 导致波峰前缘的水体通量显著提升。进而促使更多的水体质量向礁坪区输运, 增加透射效应, 从而减弱反射能量。
图8 反射系数(Cr)随入射波高的变化

hr为礁坪水深; T为波浪周期

Fig. 8 Variation of reflection coefficient (Cr) with incident wave height. hr represents the water depth of the reef flat; T represents the wave period

2.3 礁坪水深的影响

本节基于表1中B1、B2、B3、B4工况, 系统研究了礁坪水深hr对椭圆余弦波在典型岛礁地形上的传播特性的影响规律。图9a给出了不同礁坪水深下局部波高的空间分布。结果表明: 随着礁坪水深的增加, 局部波高的最大增加幅度逐渐增大, 最大降低幅度逐渐减小。对于破碎位置(WG8), 当礁坪水深从0.015m增加到0.045m时, 相比于礁坪末端, 局部波高的最大降低幅度从28.0%减小到22.2%, 产生这种现象的原因是浅水效应波浪破碎和底摩擦耗散增强, 但由于试验地形为光滑抹面, 底摩阻引起的波浪能量损失较小, 所以波浪破碎后波高基本由水深控制, 淹没水深越小, 波高衰减越剧烈。图9b描绘了不同礁坪水深下平均水位的沿程变化。结果表明, 在固定入射波高与波浪周期条件下, 平均水位随着礁坪水深减少而增加, 即浅水工况(hr = 0.015m)平均水位显著高于深水工况(hr = 0.045m), 该规律与Gourlay的试验结果相同(Gourlay, 1996)。从图9b中可以看出, 浅水条件下, 平均水位于WG12测点处有一明显降低变化, 初步分析可能为发生破碎后, 波浪冲击礁坪, 引发二次增水过程。
图9 不同礁坪水深(hr)条件下局部波高和平均水位的沿程变化

a. 局部波高; b. 平均水位; c. 岛礁地形。H0为入射波高; Hi为当地平均波高

Fig. 9 Along-course variations of local wave height and mean water level under different submergence water depths. (a) local wave height; (b) mean water level; (c) reef topography. H0 represents the height of the incident wave; Hi represents the local average wave height

进一步通过观察椭圆余弦波中的不对称度和偏度随不同礁坪水深的沿程变化。在破碎带区域内, 礁坪水深较小时, 波浪在礁坪上破碎程度更为剧烈, 其波浪相对水平轴的不对称程度加剧(图10a)。根据图10b所示, 随着礁坪水深的增加, 不对称度A的绝对值的逐渐降低。这说明随着礁坪水深的增加, 波浪的浅化变形程度逐渐减弱。
图10 不同礁坪水深(hr)条件下波浪偏度和不对称度的沿程变化

a. 偏度; b. 不对称度; c. 岛礁地形

Fig. 10 Along-course variations of wave asymmetry and wave skewness under different submergence water depths. (a) skewness; (b) asymmetry; (c) reef topography. hr represents the water depth of the reef platform

图11展示了不同礁坪水深下波浪能量的沿程变化。可以看出: 在礁前斜坡处, 浅水条件时(hr = 0.015m)波谱能量显著高于深水条件(hr = 0.045m), 这说明浅化效应强化了波浪能量的局部聚集。此外, 随着礁坪水深减小, 波浪非线性特征逐渐凸显, 不对称度增加(图10b), 能量开始向高频部分转移。而随着波浪传播至礁坪, 波谱能量变化特征呈现出与礁前斜坡区域不同的规律, 这是因为随着水深的增加, 底部粗糙度对波浪传播的影响逐渐减小, 耗散作用减弱, 故波谱能量也随之增加。
图11 不同礁坪水深(hr)条件下波谱能量的沿程变化

a. hr = 0.015m; b. hr = 0.045m

Fig. 11 Along-course variation of wave spectral energy under different submergence water depths

图12揭示了波浪增水和波浪爬高对礁坪水深的差异化影响规律, 试验结果表明: 波浪增水与礁坪水深呈负相关趋势, 这是由于水深的增大将减弱波浪破碎带的辐射应力梯度, 故波浪增水随礁坪水深的增大而单调递减。然而当礁坪水深小于0.03m时, 波浪爬高R2%的变化与波浪增水呈相反趋势, 随水深的增加而增大, 平均增幅达14.3%。这是因为在高水深条件下, 波浪破碎后残余波能通过辐射应力形成更强的垂向动量通量, 驱动爬高值非线性增长。
图12 波浪增水(ηr)和最大爬高(R2%)随礁坪水深的变化

H0为入射波高; T为波浪周期

Fig. 12 Variations of wave setup and maximum run-up with submergence water depths. H0 represents the height of the incident wave; T represents the wave period

图13展示了不同礁坪水深对反射系数Cr的影响, 当hr从0m增至0.045m时, 反射系数呈现单调递减特性, 降幅达44.3%。产生这一变化的原因是: 随着礁坪水深增加, 地形引起的浅化效应显著减弱, 导致波浪非线性强度降低, 促使更多的波能以透射的形式越过礁坪从而减少反射波能量占比。
图13 反射系数(Cr)随礁坪水深的变化

H0为入射波高; T为波浪周期

Fig. 13 Variation of reflection coefficient with submergence water depths. H0 represents the height of the incident wave; T represents the wave period

2.4 波浪周期的影响

基于表1中C1、C2、C3工况, 系统研究了波浪周期对椭圆余弦波在典型岛礁地形上传播变形的影响。图14a给出了不同波浪周期条件下局部波高的沿程分布。结果表明: 对于破碎位置(WG8), 当入射周期从T = 2.00s变化到T = 2.25s时, 局部波高最大增加幅度从19.6%增加到34.8%, 此时波浪破碎强度达到临界状态; 当入射周期从T = 2.25s变化到T = 2.50s时, 局部波高增加幅度又从34.8%降低到10.7%。相比于其他波浪要素(如入射波高和礁坪水深), 波浪周期对波高分布的影响呈现显著非单调特性。产生这种现象可能原因是: 当周期发生变化时, 波长随之变化, 导致浅水变形程度发生改变。同时, 由于各测点处波浪的入、反射波相位不同, 相位差的动态调整使得波峰与反射波的叠加形式发生变化, 使得波面变得更加复杂。图14b描绘了不同波浪周期条件下礁坪上平均水位的沿程变化。从中可以看出, 平均水位与周期的变化关系较为复杂, 与局部波高变化类似, 随着周期的增大, 平均水位呈现先增大后减小的趋势。由厄塞尔数求值公式可知, 随着周期的增加, 波长变长, 将激发更强的非线性变形, 对平均水位的变化规律造成影响。
图14 不同波浪周期(T)条件下局部波高和平均水位的沿程变化

a. 局部波高; b. 平均水位; c. 岛礁地形。H0为入射波高; Hi为当地平均波高

Fig. 14 Along-course variations of local wave height and mean water level under different wave period conditions. (a) Local wave height; (b) mean water level; (c) reef topography. T represents the wave period; H0 represents the height of the incident wave; Hi represents the local average wave height

进一步观测波浪不对称度和偏度随不同周期的沿程变化(图15a、15b), 数据显示, 随着周期的逐渐增大, 波浪不对称度和偏度亦呈现先增后减的趋势, 这是因为在短周期区间(2.00s < T ≤ 2.25s), 更强烈的浅化变形加剧波形变化, 导致波浪不对称度和偏度逐渐增加, 到临界周期(T=2.25s)达到峰值。长周期区间(2.25s < T ≤ 2.50s), 波能耗散严重, 波浪不对称度和偏度逐渐衰减。
图15 不同波浪周期(T)条件下波浪偏度和不对称度的沿程变化

a. 偏度; b. 不对称度; c. 岛礁地形

Fig. 15 Along-course variations of wave asymmetry and wave skewness under different wave period conditions. (a) skewness; (b) asymmetry; (c) reef topography. T represents the wave period

图16展示了不同波浪周期下波浪能量的沿程变化。可以看出, 当T = 2.25s时, 主频段的波能密度最大, 并且波浪在受浅化效应影响产生非线性变化后, 其高次谐波表现最为明显。相较于其他周期, 此周期的波浪在尚未与岛礁发生相互作用时, 就已产生高次谐波。这一现象表明, 该周期的入射波与岛礁产生的反射波在礁外区域发生共振, 形成驻波, 进而引发波浪的非线性变化。此外, 研究还发现, 当波浪传播至礁前斜坡时, 若周期 T ≥ 2.25s, 主频段的波能密度不仅显著集中, 且分布较为均匀; 而当 T = 2.00s 时, 主频段的波能密度呈现出先减小后增大的变化趋势。综上所述, 波浪周期的改变对岛礁上椭圆余弦波传播过程中的波能分布具有显著影响。
图16 不同波浪周期(T)条件下波谱能量的沿程变化

a. T = 2.00s; b. T = 2.25s; c. T = 2.50s

Fig. 16 Along-course variation of wave spectral skewness under different incident wave period conditions

图17揭示了波浪增水和最大爬高随不同波浪周期的变化情况。试验结果表明: 礁坪上的最大增水和最大爬高均发生在入射波周期T = 2.25s时, 当T超过临界值(T = 2.25s), 长周期波将延迟破碎, 低频分量占主导地位, 波浪辐射应力梯度减弱, 水体运输效率下降。当T较小时, 波能耗散率高, 剩余能量不足以驱动显著的水位抬升。
图17 波浪增水(ηr)和最大爬高(R2%)随波浪周期的变化

H0为入射波高

Fig. 17 Variations of wave setup and maximum run-up with wave period. H0 represents the height of the incident wave

图18展示了不同波浪周期对反射系数Cr的影响。可以看出, 随着波浪周期的增大, 反射系数也随之增加, 但增加幅度有所下降, 当周期由2.00s增到2.25s时, 增长幅度为36.9%, 当由T = 2.25s变化至T = 2.50s时, 增长幅度降至2.1%。这是因为在短周期区间(2.00s~2.25s), 波浪在礁前斜坡处发生剧烈浅化变形, 波浪破碎位置前移, 波能流增加, 从而提升反射效率; 而在临界周期区间(T = 2.25s), 由于辐射应力的累积, 从而驱动更多的水体向礁坪运输, 抑制反射波发展, 在长周期区间(T > 2.25s)透射波逐渐占据主导地位。
图18 反射系数(Cr)随波浪周期的变化

H0为入射波高; hr为礁坪水深

Fig. 18 Variation of reflection coefficient with wave period. H0 represents the height of the incident wave; hr represents the water depth of the reef platform

3 结论

本文通过物理模型试验系统探讨了椭圆余弦波在典型岛礁上的传播演变特性。揭示了不同入射波高、礁坪水深、波浪周期对椭圆余弦波传播特性的影响, 并获得以下主要结论。
1) 岛礁地形显著改变了椭圆余弦波的传播特性。波浪破碎带受浅水效应影响产生较为凸显的波形锐化现象, 低频主峰波能增强且呈现非线性特征, 礁坪区域波面表现为不规则锯齿状结构, 伴随低频主峰波峰衰减, 且出现明显的相位滞后现象。本文基于椭圆余弦波理论, 成功地模拟了礁坪区锯齿状波面和相位滞后等显著非线性现象, 相较于传统微幅波理论, 精度更高。
2) 随着入射波高的增加, 礁前斜坡处的局部波高增幅减小, 而礁坪末端的波高降幅增大, 这是由于强非线性浅化效应加剧了波浪破碎与能量耗散。同时, 礁坪上平均水位随入射波高升高而增大, 源于破碎增强导致的紊动能量增加。波浪不对称度A与偏度S在浅水区显著变化, A降幅达90.6%, S增幅达161.3%, 表明波峰前倾与波谷平坦化趋势增强。此外, 主频能量在礁前斜坡处随入射波高增加而急剧增长, 但礁坪上的能量衰减因破碎加剧而更显著。波浪增水和爬高与入射波高呈正相关, 而反射系数降低呈负相关, 体现了非线性变形对透射效应的促进作用。
3) 随着礁坪水深的增加, 礁前斜坡处局部波高的最大降幅逐渐降低, 这是由于浅水效应随水深增大而减弱, 破碎与底摩擦耗散降低。平均水位与礁坪水深呈负相关, 与Gourlay (1996)的试验结果一致。波浪非线性特征逐渐降低, 不对称度和偏度绝对值减小, 表明波浪浅化程度逐渐减弱。此外, 浅水条件下礁前斜坡处波谱能量聚集更明显, 但传播至礁坪后, 深水条件因底部耗散减弱而保留更多能量。波浪增水随礁坪水深增大而递减, 而爬高在hr < 0.03m时与增水趋势相反, 源于深水条件下辐射应力驱动的垂向动量通量增强。反射系数随礁坪水深的增加而降低, 这是因为水深的增加削弱了非线性变形, 促进能量透射。
4) 波浪周期T对椭圆余弦波在岛礁地形上的传播特性具有显著的非单调影响。当周期从T = 2.00s增至T = 2.50s时, 破碎位置的局部波高增幅先增加后减小。这种非线性响应源于波长变化导致的浅水变形程度改变, 以及入射波、反射波相位差的动态调整。平均水位随周期变化亦呈现先增后减趋势, 在T = 2.25s达到峰值。波浪不对称度和偏度同样在T = 2.25s时出现最大值, 短周期下强烈的浅化变形加剧波形畸变, 而长周期(T > 2.25s)下波能耗散导致特征衰减。能量分析显示, T = 2.25s时礁前斜坡处波能最强, 高次谐波(f > 0.5Hz)最显著; 而短波(f < 0.5Hz)在礁坪上衰减剧烈。波浪增水和最大爬高均在T = 2.25s达到极值, 长周期波因延迟破碎和低频主导导致辐射应力梯度减弱。反射系数随周期增大而增加, 但由于辐射应力逐渐累积, 透射波逐渐占据主导地位, 故增加幅度逐渐降低。

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